延續上一講的雙域視角(巨孔隙/微孔隙)，這一講的參數會分成兩組來看:定義「桶子形狀」的靜態參數(LL、DUL、SAT、bulk density),跟決定「桶子怎麼漏水」的動態參數(SWCON、𝐾𝑠𝑎𝑡)。 3.1 靜態參數:桶子的三條水位線 (1) LL(Lower Limit,凋萎點下限) 這是植物完全無法吸取的水分下限,操作型定義通常對應到 −1.5 MPa(15 bar)的基質勢。在微孔隙/巨孔隙框架下,LL 描述的完全是微孔隙域——這個含水量下,水被吸附在極細孔隙的表面,基質勢極負,只存在於微孔隙的毛細跟吸附作用力範圍內,巨孔隙在這個含水量早就空了。 DSSAT 通常用 LL(而不是永久凋萎點 wilting point)這個名稱,是因為它其實是「特定作物根系可達到的下限」,理論上依作物種類、根系穿透力略有差異,但實務上常直接借用土壤的物理凋萎點。 (2) DUL(Drained Upper Limit,排水上限) 這是整套 bucket 理論裡最關鍵的一條線——它同時也是上一講講的「巨孔隙排水」的觸發點:𝑆𝑊> 𝐷𝑈𝐿 SW>DUL 才會啟動𝐷𝑅𝐴𝐼𝑁𝐿 方程。 物理意義上,DUL 是「重力排水已經(近似)結束、只剩微孔隙毛細力撐著水」的那個含水量,通常對應基質勢在 −10 到 −33 kPa 之間(視質地而定,砂土接近 −10 kPa,黏土接近 −33 kPa)。用雙域語言講:DUL 就是巨孔隙域清空、微孔隙域仍飽滿的那條分界線。這也是為什麼 DUL 不是一個絕對的物理常數,而是跟排水時間、量測方式高度相關的操作型定義——現場量測通常是「飽和後排水1–2天」的含水量,這個「1–2天」本身就是承認巨孔隙排水需要一點時間,但排水速率遠快於微孔隙。 (3) SAT(Saturation,飽和含水量) 這是巨孔隙+微孔隙全部孔隙都灌滿水時的含水量,約等於總孔隙度 𝜙 。注意上一講 Emerman 論文提到的關鍵假設——「巨孔隙域跟微孔隙域必須有相同的飽和含水量才能讓雙域模型的擬合站得住腳」。這句話反過來提醒你:SAT 這個看似簡單的參數,其實隱含了「兩個域共享同一個總孔隙空間」的假設,在真實土壤中不一定成立(比如強烈結構化的黏土,巨孔隙可能只佔總孔隙度很小一部分)。 (4) Bulk...
第二講：從 Richards Equation 到 Tipping Bucket —— DSSAT 為什麼不用解 Richards Equation？
今天我們要回答一個問題：既然土壤中的水是真正流動的，為什麼 DSSAT 可以只用一個 bucket 就模擬得很好？2.1 真正的土壤水流長什麼樣？
想像下雨後，水不是一瞬間跑到 1 m 深。而是：
Rain
↓↓↓↓↓↓
███████ 表土
↓↓
███████
↓
███████
2.2 Richards Equation
1931 年，Lorenzo A. Richards提出了描述非飽和土壤水流的偏微分方程，現在稱為 Richards equation，它的概念是：某一深度的含水量變化 = 上下水流差，數學形式可寫成：$\frac{\partial \theta}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial z} \left[ K(\theta) \left( \frac{\partial h}{\partial z} + 1 \right) \right]$
先不要被公式嚇到，它只有四個重要角色：
θ：土壤含水量
h：基質勢（matric potential）
K：水力傳導度
z：深度
2.3 每一項到底代表什麼？
左邊： $\frac{\partial \theta}{\partial t}$意思就是:每一秒鐘，土壤含水量改變多少。
右邊第一項：K(θ)
代表水現在有多容易流
乾土 □□□□□□□□□ 水很難流。
濕土 ■■■■■■■■■ 水很好流。
因此 K 不是常數，而是K=f(θ)，這也是整個問題困難的來源。
右邊第二項：$\frac{\partial h}{\partial z} $
代表水勢梯度。水永遠往高水勢流向低水勢，而不是永遠向下。水甚至可以往上移動。
最後：+1
就是Gravity，代表：地球重力。
2.4 為什麼 Richards Equation 很難？
因為它同時具有三個特性：① 偏微分方程（PDE）:不是高中數學。
② 非線性: K 會一直變，不是固定常數。
③ 每公分都不同。
例如：
0 cm
0.31
0.30
0.29
0.28
0.27
0.26
...
2.5 HYDRUS 在做什麼？
HYDRUS 就是在求解 Richards equation。例如：100 cm → 切成 500 個元素，每個元素 (θ, h, K)全部一起迭代。因此，每一天可能需要幾千～幾萬次 iteration。所以 HYDRUS 很慢，但是很精確。
2.6 CERES（1980 年代）遇到的問題
現在想像，1983 年，IBM PC 只有256 KB RAM，甚至更少。CPU不到 10 MHz。如果每天都解 Richards Equation，可能一天就要跑好幾分鐘甚至更久。一個 30 年模擬幾乎不能做。所以 CERES 團隊思考：我們真的需要知道每一公分的水勢嗎？答案是不用。植物真正需要的是：
Root zone
↓
還有多少水？
18.3 cm 深度
現在水勢是多少？
2.7 Ritchie 的革命性想法
Ritchie (1998) 採取了以根區水量平衡（root zone water balance）為核心的建模策略，其目的不是精確求解土壤中每一位置的水勢，而是估算植物可利用水分（plant available water）及其對作物生長的影響。 因此，把土壤改成：
────────────
Layer 1
────────────
Layer 2
────────────
Layer 3
────────────
Layer 4
Bucket 1
↓
Bucket 2
↓
Bucket 3
↓
Bucket 2
↓
Bucket 3
2.9 Emerman 的解釋
Emerman 指出，tipping bucket 模型作為模擬土壤水傳輸的計算效率高、所需輸入參數少的方案，隱含地假設所有水流都透過巨孔隙(macropore)發生。Emerman 給了更精確的說法:它不是「沒有物理機制」，而是「只描述了巨孔隙這一種機制，完全排除了微孔隙(micropore)的達西流」。這帶出模型的兩個限制:模型的侯限性在於它排除了微孔隙流、也排除了微孔隙未飽和情況下的巨孔隙流，而且依賴固定時間步(通常取一天)。
數學上的連結:Tipping Bucket 是 Kinematic Wave Equation 的特例
這是這篇論文最關鍵的推導。Beven and Germann (1981) 從質量守恆出發，對巨孔隙水建立了 kinematic wave equation:
$\frac{∂𝜃_m}{∂𝑡} = - \frac{∂𝑞_𝑚}{∂𝑧}$
再假設巨孔隙的通量 𝑞𝑚 是巨孔隙含水量𝜃𝑚的冪次函數:
$q_m = a \theta_m^b$
其中 a、b 是經驗擬合參數。把這兩式合併，就得到 kinematic wave equation;在𝑏=1 的特殊情況下，這個方程會簡化成線性形式
$ \frac{∂𝜃_𝑚}{∂𝑡} = − 𝑎 \frac{∂𝜃_𝑚}{∂𝑧}$
Emerman 證明:tipping bucket 方程正是這個 kinematic wave equation 在土層厚度固定時的特例——tipping bucket 方程只有在土壤層厚度固定的條件下，才是 kinematic wave equation 的特例。
這句話的意思是:如果你把方向離散成固定厚度的層(DSSAT 正是這樣做的)，再把時間也離散成固定步長(一天)，那麼這個線性 PDE 用最簡單的一階上風差分(first-order upwind)去逼近，得到的遞迴式，形式上就跟我們上一講寫的
$DRAIN_L =(SW_L−DUL_L)×SWCON_L $
一致。也就是說——SWCON 這個「經驗排水係數」，在物理上對應的是 kinematic wave equation 裡的參數a，而不是微孔隙的飽和導水度 Ksat。這是個很重要的重新定位:DSSAT 使用者常常把 SWCON 直覺理解成「跟 Ksat相關」,但 Emerman 的框架告訴我們，它本質上是巨孔隙優先流(preferential flow)的動力學參數，跟微孔隙的達西流是兩個不同的物理世界。
把限制變成優勢:重新表述成微分方程
Emerman 進一步指出，把 tipping bucket 模型重新表述為一組描述巨孔隙水分與溶質傳輸的微分方程，可以消除上述限制——也就是說，一旦你承認 tipping bucket 描述的是巨孔隙流，你就可以把它從「固定日步的代數遞迴」還原成「連續時間的 PDE」，這樣就能跟真正的 Richards equation(描述微孔隙流)搭配使用,而不是互相替代。 巨孔隙 + 微孔隙的雙域模型，比單用 Richards equation 更準 Emerman 引用之前用 Richards equation 模擬 oxisol(氧化土)水分傳輸的研究，發現只有做出「飽和含水量僅為總孔隙度的70%」這個很可能不成立的假設，才能讓模型準確擬合實測含水量——這其實是模型在「偷偷承認」有一部分孔隙(巨孔隙)的行為不符合 Richards equation 的假設，只好用調低飽和含水量的方式硬湊。
而把描述巨孔隙水傳輸的 tipping bucket 方程，跟描述微孔隙水傳輸的 Richards equation 結合起來，可以得到同樣好、甚至更合理的擬合結果,不需要那個不合理的假設。
這個雙域模型引入了兩個新參數:巨孔隙排水參數，以及巨孔隙水分排入微孔隙的質量傳遞係數，並且有一個關鍵假設:飽和含水量必須是尺度不變的，也就是巨孔隙域跟微孔隙域必須有相同的飽和含水量。
這對理解 DSSAT 意味著什麼
把這個框架套回 DSSAT 的水平衡模組，可以看出幾個關鍵洞察: (1)DSSAT 的 DRAIN 方程本質上只描述巨孔隙(優先流)排水: SW 超過 DUL 的那部分水,對應的正是巨孔隙裡的重力自由水。 (2)DSSAT 完全沒有處理微孔隙流: SW 在 LL 跟 DUL 之間的水，DSSAT 假設它「不會自己移動」(只能被根系吸走或蒸發)，但真實物理上，微孔隙裡的水在基質勢梯度驅動下仍會緩慢流動(這正是 Richards equation 描述的部分)。這也解釋了為什麼 DSSAT 沒有毛細上升(capillary rise)的機制。 (3) DSSAT 也沒有 Emerman 模型裡的「巨孔隙→微孔隙質量傳遞」這一項: —換句話說，DSSAT 的 bucket 比 Emerman 的雙域模型更簡化，它是單向的(巨孔隙水只會往下排、被蒸發或被根系吸收,不會「倒流」進微孔隙重新分布)。 (4) SWCON 的校準: 理論上應該對應到巨孔隙結構(裂縫、蟲洞、根孔等)的特性,而不是土壤質地本身的 Ksat，這也是為什麼田間校準 SWCON 常常跟實驗室量測的 Ksat 對不起來，因為它們在描述不同的孔隙域。
2.10 Richards vs Tipping Bucket
| 比較項目 | Richards Equation | Tipping Bucket |
|---|---|---|
| 土壤表示 | 連續介質 | 分層水桶 |
| 控制變數 | 水勢 (h)、含水量 (θ) | 各層儲水量 (SW) |
| 主要驅動 | 水勢梯度 + 重力 | 重力主導的層間排水 |
| 計算方法 | 偏微分方程數值解 | 每日水量平衡 |
| 計算速度 | 慢 | 快 |
| 適合研究 | 土壤物理、水文 | 作物生長、農業管理 |
| 代表模式 | HYDRUS、SWAP | DSSAT、CERES、APSIM（經典 cascade） |
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